LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN

CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68
CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan
CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ

GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ
(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

MỤC LỤC
Chương 3: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC .......................................................................................................3
Bài 1. Giới hạn của dãy số ......................................................................................................................................3
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ...............................................................................................................................3
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP .................................................................................4
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ .......................................................................................................................................4
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................4
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................................................5
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức ............................................................................................................................6
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................6
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ......................................................................................................................6
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ .............................................................................................7
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................7
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ........................................................................................................................7
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .......................................................................................................9
1. Phương pháp ..................................................................................................................................................9
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................... 9
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn ....................................................................... 10
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 12
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA..................................................................................................... 14
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................................... 17
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ................................................................................................................... 41
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. .................................................................................. 41
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ........................................................................... 43
Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn ............................................................................................................ 43
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 43
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 43
Dạng 2. Giới hạn tại vô cực .......................................................................................................................... 44
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 44
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ......................................................................................................................45
Dạng 3. giới hạn một bên ..................................................................................................................................47
1. Phương pháp ................................................................................................................................................47
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ......................................................................................................................47
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

1

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Dạng 3. Dạng vô định

 WEB: Toanthaycu.com

0
...................................................................................................................................49
0

1. Phương pháp ................................................................................................................................................49
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ......................................................................................................................49
Dạng 4. Dạng vô định


.................................................................................................................................56


1. Phương pháp ................................................................................................................................................56
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ......................................................................................................................56
Dạng 5. Dạng vô định  , 0. ...............................................................................................................60
1. Phương pháp ................................................................................................................................................60
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng ......................................................................................................................61
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.........................................................................................................63
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..........................................................................................................................65
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC .................................................................................................................................85
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .............................................................................................................................85
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ...............................................................................86
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm ...........................................................................................................86
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 86
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 86
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định ................................................................................................ 88
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 88
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 89
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng ........................................................................... 90
1. Phương pháp ............................................................................................................................................ 90
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng .................................................................................................................. 90
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA..................................................................................................... 93
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ...................................................................................................................... 95
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III ........................................................................................................................ 107
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ....................................................................................................... 107
BÀI TẬP TỰ LUẬN..................................................................................................................................... 108
BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG 3 ................................................................................................................. 113
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ..............................................................................................................................113
PHẦN 2: TỰ LUẬN..........................................................................................................................................131

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

2

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

Chương 3: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1. Giới hạn của dãy số
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Giới hạn 0 của dãy số
Dãy số  un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un nhỏ hơn một số dương bất kì cho
trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u n  0 hay un  0 khi n  . Ta còn viết là
n 

lim u n  0 .
Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:



1
 0 , với k nguyên dương bất kì.
nk
lim q n  0 , với q là số thực thỏa mãn q  1.

lim

Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy số  un  có giới hạn hữu hạn là số a ( hay un dần tới a ) khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu

lim  un  a   0. Khi đó, ta viết lim un  a hay lim un  a hay un  a khi n  .
n 

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Chú ý: Nếu un  c ( c là hằng số) thì lim un  lim c  c .
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Cho lim un  a,lim vn = b và c là hằng số. Khi đó:

lim  un  vn   a  b

lim  un  vn   a  b

lim  c.un   c.a

lim  un .vn   a.b

lim

un a
 b  0
vn b

Nếu un  0, n  thì a  0 và lim un  a

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn  un  có công bội q thỏa mãn q  1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp
số nhân lùi vô hạn này có tổng là
S  u1  u2  ...  un  ... 

u1
1 q

4. Giới hạn vô cực

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

3

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

Ta nói dãy số  un  có giới hạn là nếu un lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó
trở đi, kí hiệu lim un   hay un   khi n  +.
Ta nói dãy số  un  có giới hạn là  khi n   nếu lim  un    , kí hiệu

lim un   hay un  
khi n  + .
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
a) lim un   khi và chỉ khi lim  un    ;
b Nếu lim un   hoặc lim un   thì lim

1
0;
un

c) Nếu lim un  0 và un  0 với mọi n thì lim

1
  .
un

Nhận xét:
a) lim nk    k  , k  1 ;

b) lim q n    q  1 .

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ
1. Phương pháp
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao
nhất của n k , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn.
Chú ý : Cho P n, Q n lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến

n:

P  x  am n m  am1n m1    a1n  a0 am 
 0
Q n  bk n k  bk 1n k 1    b1n  b0 bk 
 0

Khi đó lim

P n 
Q n 

 lim

am n m
bk n k

, viết tắt

P n
Q n 



am n m
bk n k

, ta có các trường hợp sau :

Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) thì lim
Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) thì lim
Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) thì lim

P n
Q n
P  n
Q n

 0.



am
.
bk

P  n


 khi am bk  0

.

Q  n 

 khi am bk  0

Để ý rằng nếu P n, Q n có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó.
Cụ thể

m

nk tì có bậc là

k
.
n

Ví dụ

n

có bậc là

1 3 4
, n
2

có bậc là

4
,...
3

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

4

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách
nhanh chóng !
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Tính lim

3n3  5n2  1
2n3  6n2  4n  5

.
Giải

5 1

3n  5n  1
3
n n3
lim
 lim

3
2
6 4
5 2
2n  6n  4n  5
2 

n n 2 n3
3

3

2

Ví dụ 2: Tính lim

n  2n 2
n  3n 1
3

Lời giải
Ta có

1 2

2
n  2n 2
n  0  0.
lim 3
 lim n
3
1
n  3n 1
1
1 2  3
n
n

Giải nhanh : Dạng « bậc tử »  « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
Ví dụ 3: Tính lim

n7  n 2
n3  3n 1

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Lời giải
lim

n7  n2
n7

 n 4  
n3  3n 1 n3

Ví dụ 4: Cho dãy số un  với un 

2n  b
5n  3

trong đó b là tham số thực. Để dãy số un  có giới hạn

hữu hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu
Lời giải
Ta có

b
2
2n  b
n  2  b   
lim un  lim
 lim
3 5
5n  3
5
n

Giải nhanh :

2n  b 2n 2


5n  3 5n 5

Ví dụ 5: Cho dãy số un  với un 

với mọi b  .

4n 2  n  2
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a
an 2  5

bằng bao nhiêu
Lời giải
4n 2  n  2
2  lim un  lim
 lim
an 2  5

Giải nhanh : 2 

1 2
4  2
n n  4 a 
 0  a  2.
5
a
a 2
n

4n 2  n  2 4n 2 4
 2   a  2.
an2  5
an
a
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

5

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Ví dụ 6: Tính giới hạn L  lim

 WEB: Toanthaycu.com

n 2  2n 2n 3  14n  5
.
n 4  3n 13n 2  7
Lời giải



2 

1 

5 

1  2  3  4  
n 2  2n2n3 14n  5
1.2.4 8
n
n
n
L  lim

lim

 .
4
2



1.3
3
n  3n 13n  7
1 3  1 3  7 
3
4
2


Giải nhanh:

n 

n

n 

n 2  2n2n3  14n  5 n 2 .2n3 .4n 8
 4 2  .
n .3n
3
n 4  3n 13n 2  7
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức

1. Phương pháp
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.



AB
löôïng lieân hieäp laø: A  B
A B
löôïng lieân hieäp laø: A  B
A  B löôïng lieân hieäp laø: A  B
3
3
A B
löôïng lieân hieäp laø:  A 2  B3 A  B2 


3 2
3
3

2
A B
löôïng lieân hieäp laø:  A  B A  B 



2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Tính lim  n2  7  n 2  5 


GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133



Giải
n 2  7  n2  5
2
lim  n 2  7  n 2  5   lim
 lim
0
2
2
2
2


n 7  n 5
n 7 n 5

Ví dụ 2. Tính lim  n2  n  1  n
Lời giải
n2  n 1  n  n2  n  0 
 nhân lượng liên hợp :

.
lim



1
1
n
n  n  1  n  lim
 lim

2
2
1
1
n  n 1  n
1  2  1
n n

Giải nhanh :
Ví dụ 3. Tính lim



3

n2  n 1  n 

n 2  n3  n

1 

n  1



2

n  1
n  n 1  n
2



n

1
 .
2
n n
2


Lời giải

3

n2  n3  n  3 n3  n  0 
 nhân lượng liên hợp :

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

6

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
lim



3



n2

n 2  n3  n  lim

Giải nhanh :

3

3

n 2  n 

3 2

 WEB: Toanthaycu.com
1

 lim

 n 3 n 2  n3  n 2

 1 
 1  3 1 1  1
 n 
n
2

3

n2

n 2  n3  n 
3

n

2

n



3 2



n n n n
3

2

3

2

1
 .
3

n2

3

1
 .
3
n  n n  n
6

3

3

2

Ví dụ 4. Tính lim  n  n  1  n 


Lời giải
n





n 1  n  n

lim n







n  1  n  lim

Giải nhanh :

n





n  n  0 
 nhân
n
n 1  n



n 1  n 

lượng liên hợp :
1

 lim

1
n
n 1  n

1
1
n





1
2

n

1
 .
n n 2

Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ
1. Phương pháp
Trong tính giới hạn lim

un
mà un ; vn là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho a n với a là cơ số
vn
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim q n  0 với q  1.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tính lim

3n  2.5n 1
2 n 1  5n
Lời giải

Giải nhanh :

3n  2.5n 1 2.5n1
~
 10
2n 1  5n
5n
n

Cụ thể : lim

3n  2.5n1
2 n 1  5n

3
   10
5
 lim   n
 10.
2
2.    1
5

3n  4.2n 1  3
Ví dụ 2: Tính lim
3.2n  4 n
Lời giải
n

3n  4.2 n 1  3 3n  3 
Giải nhanh :
~ n    
 0.
3.2 n  4n
4
4

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

7

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
n

 WEB: Toanthaycu.com
n

n

3
1
1
 8.    3.  
n
n 1


3  4.2  3
4
2
 4   0  0.
Cụ thể : lim
 lim  
n
n
n
3.2  4
1
1
3.    1
2

 1
lim

Ví dụ 3: Tính

n

2 5n 1

35n  2

Hướng dẫn giải

Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta có:

 1
lim

n 5n 1

2

n

22
 lim  1 .    0.
93
n

35n2

Cách 2: Mẹo giải nhanh

 1

n

25n 1

35n 2

2
  1 . 
3
n

Ví dụ 4: Tính lim

5n

 0.

3n  4.2n1  3
3.2n  4n

.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Giải bằng tự luận
n

n

Suy ra lim

3n  4.2n 1  3
n

3.2  4

n



GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

3
2
3
   4.2    4
n
n 1
3  4.2  3  4 
n (chia tử và mẫu cho n 4 ).
4
Ta có:

n
n
n
3.2  4
2
3.    1
4

0
 0.
1

Cách 2: Mẹo giải nhanh
3n  4.2n 1  3
3.2n  4n

3n

n

3

    0.
n
4
4

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

a

thuộc 0;20 sao cho lim 3 

an 2  1 1

3  n 2 2n

là một số

nguyên.
Lời giải

Ta có


1


a 2

an 2 1

n

lim
 lim
a

3

3  n2
an 2 1 1


1

lim
3


 3  a.
2

n

3  n 2 2n

n


 1 
1

   0
lim

lim


 2 
2n




a  0;20 , a  

Ta có 



 a 3  


 a  1;6;13.

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

8

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q  1.
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un)
S  u1  u2  ...  un  ... 

u1
1 q

 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
a1

X  N,a1a2 a3 ...an ...  N 



a2

10 102



a3
103

 ... 

an
10n

 ...

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
 1
1 1 1
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  ,...,   
2 4 8
 2

n 1

,...

Lời giải
1
2

Theo đề cho ta có: u1  1, q   .
S

u1
1 q



1

2
 .
1 3
1
2

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a  0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng
phân số.
Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta có: a  0,212121...
 0,21  0,0021  0,000021  ...
 1

1
1
 21


 ... 
2
4
6
10
10
 10


Tổng S 

1
10

2



1
10

4



1
10

6

 ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u1 

1
10

2

,q

1
102

.

1
S

u1

2
1
1
7
 10  . Do đó A  21.  .
1
1 q
99
99 33
1
2
10

Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính
Nhập vào màn hình 0,  21 và ấn phím  ta được kết quả

7
.
33

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

9

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
2

3

Ví dụ 3: Tổng Sn  1  0,9   0,9    0,9   ...   0,9 

n 1

 WEB: Toanthaycu.com
 ... có kết quả bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải
2

3

S  1  0,9   0,9    0,9   ...   0,9 

n 1

 ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có u1  1, q  0,9.
S

u1
1 q



1
 10.
1  0,9

Ví dụ 4: Cho S  1  q  q 2  q3  ..., q  1
T  1  Q  Q2  Q3  ..., Q  1
E  1  qQ  q2 Q2  q3Q3  ...

Biểu thị biểu thức E theo S, T
Hướng dẫn giải


S  1  q  q 2  q3  ..., q  1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có u1  1, q  q.

Khi đó: S 

u1
1 q



1
S 1
q
.
1 q
S

(1)

1
T 1
Q
.
1 Q
T

(2)

Tương tự: T 



E  1  q.Q  q2 .Q2  q3 .Q3  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ  1 , và

u1  1 ).
E

u1

(3)

1  qQ

Thay (1), (2) vào (3): E 

u1
ST
E
.
T 1 S 1
S  T 1
1
.
T
S

1
2

Ví dụ 5: Tìm số hạng U1 của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  4; q  .
Hướng dẫn giải
Ta có: S 

u1

 q  1  4 
1 q

u1
 u1  2.
1
1
2

Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  6; U1  3.
Hướng dẫn giải
Ta có: S 

u1

3
1
q  1  6 
q .

1 q
1 q
2

Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn
1. Phương pháp

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

10

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133



 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

1) Dạng tồng các phân số.
Ví Dụ: A 

1
1
1


, n  2, n  N
2.3 3.4
n(n  1)

Ta phân tích :

1
1
1
 
.(1)
k (k  1) k k  1

Để tính A ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng
2) Dạng tích các phân số:
Ví dụ: B 

22  1 32  1
 2 , n  2, n  N
22
3

k 2 1 k 1 k
Ta phân tích:

:
.(2)
k2
k k 1
Để tính B ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng
3) Dang đa thức:
a) Mỗi đơn thức ở dạng tích:
Ví dụ: C  1.2.3  2.3.4 99.100.101
Ta tách:
4k (k  1)(k  2) : 4  k (k  1)(k  2)[(k  3)  (k  1)] , k  1, k  N
 ((k  1)k (k  1)(k  2)  k (k  1)(k  2)(k  3)) : 4 (3)

Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng
GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Ví dụ: D  3.5.7  5.7.9  (2n  1)(2n  3)(2n  5), n  1, n  N
Ta tách: (2k  1)(2k  3)(2k  5)  (2k  1)(2k  3)(2k  5)[(2k  7)  (2k  1)] : 8
 ((2k  1)(2k  3)(2k  5)(2k  7)  (2k  1)(2k  1)(2k  3) (2k  5)) : 8 (4)

Đề tính D ta thay k từ : 1, 2,3, , n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng
4 ) Đơn thức dạng lũy thừa
Ví Dụ: Tính E  13  23  n3 , n  N .n  1
Ta dùng hẳng đẳng thức : ( x  1)3  x3  3 x 2  3 x  1 .
x  1 23  13  3.12  3.1  1
x  2 33  23  3  22  3  2  1
…
x  n (n  1)3  n3  3  n 2  3  n  1
Cộng vế theo vế





(n  1)3  13  3 12  2 2    n 2  3(1  2  3   n)  n

n 3  3n 2  3n  3E 

3n( n  1)
n
2

3
2
 3  n( n  1)
 2n  3n  n
3E  n 3  3n 2  3n  
 n 
2
2


n( n  1)(2n  1)
E
6

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

11

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh.
Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
1
1
1

 ... 
. Tính lim un
1.2 2.3
n  n  1

Ví dụ 1: Cho un 

Lời giải
Ta luôn có:



un 

1
1
1
 
áp dụng vào un :
k  k  1 k k  1

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1

1 1   1 1  1 1 
1
1 
1
             ...   
 1
n 1
1 2   2 3  3 4 
 n n 1


Do đó: lim un  lim  1 


Ví dụ 2: Cho un 

1 
  1.
n 1

1
1
1
1


 ... 
. Tính lim un
3.5 5.7 7.9
 2n  1 2n  1

Lời giải

un 

1

1 1
1 
 

.
 2k  1 2k  1 2  2k  1 2k  1 

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Ta luôn có:

1
1
1
1


 ... 
3.5 5.7 7.9
 2n  1 2n  1

11 1 11 1 1 1 1
1 1
1 
             ...  


23 5 2 5 7 2 7 9
2  2n  1 2n  1 
11
1 
  
.
2  3 2n  1 

11
1  1
 .
2  3 2n  1  6

Do đó lim un  lim  
Ví dụ 3: lim

1  2  3  ...  n
2n 2

bằng bao nhiêu?
Lời giải

Vì 1  2  3  ...  n 

n  n  1
2

nên: lim


Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim  1 


1  2  3  ...  n
2n2

 lim

n  n  1
4n2

1
 .
4

1 
1  
1 
1   ...  1    .
2 
2
2  3   n2  

Lời giải


Ta có:  1 


1 
1 
1  22  1 32  1 n2  1
1

...
1


 
  2 . 2 ... 2
22  32   n2 
2
3
n
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

12

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO


 WEB: Toanthaycu.com

 2  1 . 2  1 . 3  1 . 3  1 ... n  1 n  1  n  1 .
22.32...n2



Vậy lim  1 


2n

1 
1  
1  1
1   ...  1     .
2 
2
2  3   n2   2

 U1  2

.
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: 
Un  1
; n  *
 U n 1 

2

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta chứng minh dãy  U n  là bị chặn: 1  Un  2.
Dãy  U n  là dãy giảm.
Thật vậy ta xét U k 1  U k 

Un  1
2

 U k  2Uk  U k  1  Uk  1 (đúng).

Vậy dãy  U n  có giới hạn. Đặt lim Un  a .
 Un  1 
a 1
 a  1.
 hay a 
2
 2 

Ta có: lim  U n 1   lim 

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính

Ghi vào màn hình: X  X  1: A 

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Khai báo: 1  X {biến đếm}; 2  A {giá trị u1 }
A 1
2

Ấn CALC và lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy lim Un  1.
U  2
 1

Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: 

*
 U n 1  2  U n ; n  

.

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn:


U1  3 (đúng).



Giả sử U k  2, k  1.

2  Un  2 (bằng phương pháp quy nạp).

Ta có: U k 1  2  U k  2  2  2  k  1 .
Vậy U k  2 n  * .
Tương tự: Un  2 n  * . Ta chứng minh dãy  U n  là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp).
+ U1  2; U2  2  2  U1  U2 .
+ Giả sử Uk1  Uk k  2 . Ta xét U k  U k 1; k  *

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

13

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

 U k  2  U m  U 2k  2  U k  U 2k  U k  2  0

2  U k  2, k * )

 1  U k  2 (luôn đúng vì

Vậy dãy  U n  tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi a  lim Un  lim Un1 .
Ta có: lim U n  2  LimU n  a  2  a  a2  2  a
a  2 (nhaän)
 a2  a  2  0  
a  1 (loaïi)

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính
Khai báo: 1  X {biến đếm};

2  A {giá trị u1 }

Ghi vào màn hình: X  X  1: A  2  A
Ấn CALC và lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy lim Un  2.
U1  3

Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy: 
1
3 
*.
U n1  2  U n  U  ; n  
n 



Lời giải
Ta có: Un  0, n * .
3
Un


*
  3, n   .


GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

1
2

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: U n 1   U n 
Vậy  U n  là dãy bị chặn dưới.
Vì U n  3

 U2n

U2n 
1
3  1


 3  U n1   U n 
 U 
2
U n  2  n U n 




1
 U  U n   U n , n  * .
2 n

Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt lim Un1  lim Un  a.
1 

Ta có: lim U n  lim   U n 
 2 

3
Un


 
 

1
3
 a   a    a2  3  a  3.
2
a

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

16n 2  2
;
n
n 2  2n  3
d) lim
.
2n 2

2n  1
;
n
4
c) lim
;
2n  1
a) lim

b) lim

Lời giải

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

14

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
a) lim

 WEB: Toanthaycu.com

2n  1
1
1

 lim  2    lim  2   lim  2  0  2 .
n
n
n


16n 2  2
16n 2  2
2 
2

b) lim
 lim
 lim 16  2   lim16  lim 2  16  0  4 .
2
n
n
n 
n

4
4
0
 lim n 
0.
c) lim
1 20
2n  1
2
n
2
n  2n  3
3 
1
1
3
1
1
1 1
 lim    2   lim  lim  lim 2   0  0  .
d) lim
2
2n
2
n
2n
2
2
 2 n 2n 

Bài 2. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n

n

1 1 1
 1
a)         ;
2 4 8
 2

b)

1 1
1
1
 
    
4 16 64
4

Lời giải
1
1
2

.
 1  3
1  
 2 
1
n
1 1 1
1
1
b)        4  .
1 3
4 16 64
4
1
4
n

1 1 1
 1
a)         
2 4 8
 2

Lời giải

0, 444 

4
9

Bài 4. Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh
để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để
được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và S n là tổng diện tịch của n hình vuông đầu
tiên. Viết công thức tính an , S n  n  1, 2, 3,  và tìm lim Sn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

15

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 444 dưới dạng một phân số.

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên.
Viết công thức tính pn và Qn  n  1, 2, 3,  và tìm lim Qn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng
chu vi của các hình vuông).
Lời giải
a) an 

Sn  1 

1
2n1
1 1
1
1
 2  n 1 
2
1
2 2
2
1
2

b) pn  4 

1
( 2)n 1

1
1
1
1
 4

4


4

 13, 66
1
2
( 2)2
( 2) n 1
1
2
Bài 5. Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông H 0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a ). Chia hình vuông
Qn  4  4 

H 0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 bốn hình
H n  n  1, 2, 3,  .

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133

16

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

vuông, nhận được hình H 2 (xem Hình 6c ). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

 WEB: Toanthaycu.com

1
;
3
1 1 1
H 2 có 5.5  52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng   2 ; .
3 3 3

Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng

Từ đó, nhận được H n có 5n hình vuông, mỗi h...